Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


2.6. ii критерий неустойчивости движения

Если:: найдется -окрестность нуля, в которой  для

                      всех ,

: можно представить  где , W – зна

       копостоянная,

: при W – неотрицательной;  (соответственно

неположительной; ) в любой окрестности начала координат найдется точка, в которой функция  (соответственно, ),

то движение неустойчиво.

Пусть сначала . Тогда условие  дает дифференциальное уравнение, решение которого будет:

.

Если принять за начальную точку движения точку, где  (такая точка найдется в как угодно малой -окрестности нуля), то со временем функция Ляпунова по абсолютному значению превзойдет L и движение покинет -окрестность нуля, существующую по условию .

Пусть теперь для определенности  (рассуждения для неположительных W аналогичны). Соотношения из условия  перепишем с множителем:

или

.

Выражение в квадратных скобках не убывает вдоль движения, следовательно, больше или равно своему начальному значению при :

.

По условию  в любой -окрестности нуля найдется точка, в которой . Если начать из нее движение, то функция Ляпунова V будет положительной и будет безгранично расти со временем, а значит, движение не может остаться в -окрестности нуля.

Неустойчивость основного движения доказана.