Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


2.7. устойчивость стационарных движений

Как простой пример рассмотрим применение прямого метода Ляпунова к устойчивости стационарных движений консервативной системы.

Пусть консервативная система имеет m позиционных и (n – m) циклических обобщенных координат:

; .

Полная энергия такой системы (функция Гамильтона) имеет вид:

,

где  и  – позиционные и циклические обобщенные импульсы, П – потенциальная энергия. Квадратичная форма – кинетическая энергия, записанная через импульсы, – положительно-определенная.

Для рассматриваемой системы имеют место интегралы движения: закон сохранения полной энергии: , закон сохранения циклических обобщенных импульсов:  (верхним индексом 0 обозначены начальные значения величин).

Система имеет стационарные движения, если имеются решения:

 (i = 1, 2, …, m).

Если рассматривать только позиционные координаты и не обращать внимания на игнорируемые, “скрытые” движения, то стационарные решения будут соответствовать состояниям равновесия.

Дифференцируя функцию Гамильтона по соответствующим импульсам, найдем обобщенные скорости. Учтем, что для стационарных движений позиционные скорости равны нулю, а циклические импульсы постоянны для любых движений. Тогда для стационарных движений:

      ,   (2.2)

      .       (2.3)

Из группы уравнений (2.2) устанавливаем, что и позиционные импульсы  (k = 1, 2, …, m) постоянны – равны своим начальным значениям . Из уравнений (2.3) тогда получаем, что постоянны (и равны начальным значениям ) циклические скорости.

Итак, при стационарном движении постоянны позиционные координаты, все импульсы и циклические скорости, а циклические обобщенные координаты меняются со временем линейно:

      .    (2.4)

Начальные значения  должны удовлетворять уравнениям:

       (i = 1, 2, …, m),      (2.5)

чтобы движение было стационарным, и обратно: если уравнения (2.5) выполнены для некоторых , то эти значения порождают стационарное движение, иными словами, уравнения (2.5) необходимы и достаточны, чтобы , удовлетворяющие этим уравнениям, были начальными условиями стационарного движения.

По отношению к циклическим координатам стационарное движение всегда неустойчиво. Всегда можно подобрать сколь угодно малые возмущения начальных значений  так, чтобы выполнялись уравнения (2.5) (уравнений меньше, чем перечисленных величин). Тогда возмущенное движение также стационарно. Но при малых возмущениях , которые найдутся из уравнений (2.3), для циклических координат по формулам (2.4) обеспечены с ростом времени как угодно большие возмущения.

Поэтому имеет смысл рассматривать устойчивость стационарных движений по отношению ко всем импульсам  и  и только позиционным координатам . Отметим, что возмущенное движение, вообще говоря, не стационарно.

Критерий устойчивости стационарного режима:

Точки  строгого экстремума функции Гамильтона  соответствуют устойчивым стационарным движениям.

Введем отклонения:

и построим функцию Ляпунова, положительно-определенную:

.

Вычислим полную производную этой функции вдоль движения, учитывая, что полная энергия и циклические импульсы вдоль движения не меняются.

Итак, – неположительная; выполнены условия критерия устойчивости движения. Устойчивость стационарного движения доказана.