Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


3.1. система линейных уравнений в отклонениях

Пусть возмущенное движение описано системой дифференциальных уравнений для отклонений от основного движения:

      , i = 1, 2, …, r.     (3.1)

При решении задачи устойчивости в малом представляют интерес решения  этих уравнений в малой окрестности нуля: . Допусти, что при малых  из правых частей уравнений  можно выделить линейные слагаемые:

      .    (3.2)

Часто принимают, что в некоторой окрестности нуля  – аналитические функции переменных  и непрерывны по времени t. Тогда  содержат вторые и более высокие степени переменных . Однако можно ограничиться и более слабым предположением, считая  просто малыми по сравнению с  при стремлении всех  к нулю.

Если на этом основании предварительно опустить нелинейные слагаемые  и считать коэффициенты  не зависящими от времени, придем к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

      , i = 1, 2, …, r.       (3.3)

Это – весьма важный класс уравнений. Во-первых, к таким уравнениям сводится большое число исследований устойчивости технических объектов, параметры которых и условия работы практически не меняются со временем или меняются столь медленно, что характерное время процессов устойчивости существенно меньше времени заметных изменений параметров и режимов работы (в последнем случае говорят иногда об исследовании методом “замороженных коэффициентов”). Во-вторых, к этим уравнениям применимы хорошо разработанные методы и стандартные алгоритмы решения проблемы.

Если исходная система уравнений движения линейна:

, i = 1, 2, …, r,

то уравнения в отклонениях совпадают с этой системой. Исследование устойчивости любого решения тогда идентично исследованию устойчивости нулевого решению В этом случае и используется упрощенное выражение: исследование устойчивости механической системы.

Несущественная роль отброшенных величин  заранее не очевидна. Ниже будет показано, что если время явно не входит в уравнения возмущенного движения (стационарный случай), то добавки  не влияют на вывод об асимптотической устойчивости, полученный по линейному приближению.

Такое заключение не обязательно, если правые части уравнений (3.1) зависят от времени. Исключение составляет случай периодической зависимости от времени, который здесь не рассматривается.

Итак, ограничимся исследованием асимптотической устойчивости для стационарного случая, когда после линеаризации получается система уравнений (3.3).