Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


3.2. общее решение уравнений (3.3)

Хорошо известная теория решения систем линейных дифференциальных уравнений кратко сводится к следующему. Составим вектор-столбец неизвестных х и квадратную матрицу коэффициентов А:

,

Систему уравнений (3.3) перепишем в матричной форме:

         (3.4)

Частное решение этого уравнения будем искать в виде:

.

Здесь U – числовой столбец. Подстановка этого выражения в (3.4) дает:

      .       (3.5)

Полученная система алгебраических уравнений для элементов столбца U имеет ненулевые решения, если определитель системы равен нулю:

      ,   (3.6)

где Е – единичная матрица. Это уравнение, называемое характеристическим, имеет r корней  – собственных чисел (матрицы А). Подстановка каждого собственного числа в уравнение (3.5) позволяет найти собственный вектор  матрицы А, определяемый с точностью до множителя. Если корень кратный, можно найти столько соответствующих ему линейно-независимых собственных векторов, какова кратность корня. Все собственные векторы матрицы А между собой линейно-независимы и составляют полную систему векторов в том смысле, что любой действительные вектор-столбец представим суммой собственных векторов с некоторыми коэффициентами.

      Если все собственные числа  различны, общее решение системы (3.4) имеет вид:

      ,   (3.7)

где  – произвольные постоянные. При кратных собственных числах перед экспонентами вместо постоянных множителей  могут появиться векторы-полиномы по времени. Максимальная степень полинома имеет место в случае, когда система (3.3) приводится к одному дифференциальному уравнению порядка r. Тогда слагаемое в общем решении, соответствующее кратному корню , будет:

      .   (3.8)

Здесь  и  (i = 1, 2, …, ) – произвольные постоянные и собственные векторы,  – кратность корня. При этой форме записи следует считать . В силу линейной независимости собственных векторов величины) однозначно определяются начальными (при ) данными , составляющими столбец . Начальные данные задают частное решение. Величины ) линейно зависят от . Поэтому можно утверждать, что в начальный момент времени  любые частные решения как угодно малы при достаточно малых значениях . С другой стороны, невозможен случай, в котором какая-либо константа  (и ) была бы тождественно равна нулю независимо от значений . Иными словами, возвращаясь к формулировкам проблемы устойчивости, можно сказать, что все частные решения существенны при решении задачи с начальными отклонениями, а вместо начальных отклонений  можно рассматривать эквивалент – совокупность отличных от нуля констант общего решения.

3.3 Устойчивость нулевого решения уравнений (3.3)

Поведение каждой из экспонент, входящих в общее решение (3.7), зависит от знака действительной части собственного числа:

если ;

если .

Рассмотрим общее решение (3.7) в случае, когда для всех :  ( – положительное). Для конечного числа корней  характеристического уравнения, имеющих отрицательную действительную часть, выбор  всегда можно сделать.

Так как все экспоненты в этом случае затухают со временем, причем скорость их убывания задается конкретным значением , найдется такой интервал времени: , в котором все элементы столбца х (3.7) достигают по абсолютной величине своих максимальных значений. Этот вывод сохраняется, если в общем решении присутствуют слагаемые (3.8), потому что экспонента убывает быстрее, чем растет полином любой конечной степени. Величины максимумов линейно зависят от констант ), а значит, и от . Если ограничить эти максимумы произвольным числом , то найдется число , которым должны быть ограничены значения . Ситуация соответствует определению устойчивости. Так как, кроме того, все  при , то устойчивость асимптотическая. Итак, сформулируем вывод:

Если все корни характеристического уравнения (3.6) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости  и отделены от мнимой оси этой плоскости: , k = 1, 2, … r, – то основное движение  асимптотически устойчиво.

Этот вывод пока строго обоснован только для механической системы, описанной линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, но будет подтвержден ниже и для линеаризованных уравнений оценкой нелинейных слагаемых  в представлении (3.2) для стационарного случая.

Пусть теперь хотя бы один корень характеристического уравнения (3.6) попадет в правую полуплоскость комплексной плоскости :  хотя бы для одного k. Соответствующая этому собственному числу экспонента неограниченно растет со временем. Всегда найдутся начальные данные, как угодно малые по абсолютной величине, которые обеспечат ненулевое значение  (или ). Иными словами, одно из частных решений системы уравнений (3.3), неограниченно возрастая по абсолютному значению хотя бы одного из своих переменных , превзойдет любое заранее назначенное ограничение при как угодно малой области начальных данных. Это – ситуация неустойчивости основного движения .

Рассмотрим, наконец, “пограничный” случай, когда один или несколько корней характеристического уравнения оказываются на мнимой оси, а остальные (если они еще есть) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости .

Если в общем решении хотя бы одному из таких мнимых корней соответствует полином вида (3.8) (не обязательно максимальной степени ), получаем неограниченный рост решения, то есть ситуацию неустойчивости.

Если же общее решение имеет вид (3.7), то оно ограничено по абсолютной величине при любой комбинации начальных данных. Максимум абсолютной величины может быть ограничен любой заранее выбранной величиной  за счет выбора размера области начальных данных . В этом случае имеет место обычная (не асимптотическая!) устойчивость решения .

Однако этот случай, строго соответствующий линейной механической системе, остается сомнительным по устойчивости для системы, уравнения которой получены линеаризацией. Отброшенные нелинейные слагаемые могут изменить суждение об устойчивости.