Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


3.4. критерии асимптотической устойчивости

Условие асимптотической устойчивости свелось к требованию, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости . Уравнение (3.6) после раскрытия определителя запишем в форме полинома:

      .       (3.9)

В нашем случае , но при иных способах получения характеристического уравнения (например, из уравнений Лагранжа II рода) достаточно считать .

Составим определители Гурвица , пользуясь следующей таблицей:

Здесь по главной диагонали подряд записаны коэффициенты  строки заполнены коэффициентами через один. Там, где коэффициентов полинома не хватает, ставятся нули.

Определитель Гурвица порядка k получается из k первых строк и столбцов (штрихами в таблице для примера выделены элементы определителя ). Максимальный порядок определителя Гурвица – r.

Критерий Рауса-Гурвица

Чтобы все корни уравнения (3.9) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости , необходима и достаточна положительность всех определителей Гурвица: , ,…, .

Для выяснения наличия асимптотической устойчивости можно также воспользоваться критерием, в котором привлекается меньшее количество определителей Гурвица.

Критерий Льенара и Шипара

Чтобы все корни уравнения (3.9) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости , необходимо и достаточно совместное выполнение трех условий:

1) ;

2) Либо , , …, , … (условия для всех нечетных коэффициентов полинома),

    либо , , …, , … (условия для всех четных коэффициентов полинома);

3) Либо , ,…,,… (условия для всех нечетных определителей Гурвица),

    либо , , …, , … (условия для всех четных определителей Гурвица).

3.5. Оценка нелинейных слагаемых

при линеаризации уравнений устойчивости

Запишем теперь вместо уравнений (3.3) более точные урав-нения:

      , i = 1, 2, … r (3.10)

и выясним, как влияют на вывод об асимптотической устойчивости ранее отброшенные нелинейные слагаемые . Уравнения (3.10) понадобится также в матричной форме:

      ,     (3.11)

где f – столбец нелинейных слагаемых , которые при стремлении всех  к нулю имеют порядок малости, более высокий, чем .

Предварительно докажем лемму:

Система уравнений (3.3) с помощью неособенного преобразования: x = Uy, U – матрица преобразования, , у – столбец переменных , может быть приведена к треугольному виду:

            (3.12)

где  – собственные числа матрицы А, в том числе, и повторяющиеся с учетом кратности; модули коэффициентов (i < k) могут быть сделаны как угодно малыми.

Начнем доказательство с очевидного утверждения, что матрица А имеет хотя бы одно собственное число  и соответствующий собственный вектор . Построим матрицу , где  – любые столбцы, линейно независимые между собой и со столбцом ; .

От переменных  перейдем к переменным  преобразованием:

 или .

Если исходная система уравнений (3.4) имеет решение:

то система уравнений в новых переменных имеет решение:

.

Таким образом, новая система:

       или        (3.13)

в развернутом виде должна иметь структуру:

Характеристическое уравнение системы (3.13) будет:

Оно имеет те же корни – собственные числа, что и уравнение (3.6). Тогда матрица  имеет собственные числа . Теперь можно заняться преобразованием такого же вида переменных  не меняя переменное , с помощью матрицы  и т.д. В итоге получим, после последовательной замены переменных, систему уравнений:

 i = 1, 2, … r.

Проведем последнюю замену:

 или , где ,

Получим: , . За счет выбора (достаточно малого)  любой коэффициент  можно сделать как угодно малым. Матрица U имеет вид:

Матричное уравнение (3.11) в переменных  приобретет форму:

        (3.14)

Здесь  – столбец нелинейных слагаемых , которые при стремлении всех  к нулю имеют порядок малости, более высокий, чем . Обозначая модуль вектора у с комплексными компонентами так:

      ,   (3.15)

запишем вытекающую из понятия порядка малости оценку:

,

где  – величина, которую можно считать как угодно малой при достаточно малом .

Учитывая уравнения (3.12) и (3.14) и запись (3.15), проведем следующую выкладку:

        (3.16)

Теперь можно сделать оценки всех трех слагаемых в случае, когда линеаризация уравнений дает асимптотическую устойчивость. Предположим, что  ограничен и достаточно мал. Это предположение будет подтверждено сейчас же конкретной оценкой для , вытекающей из оценки правой части (3.16). Имеем:

.

Здесь  отделяет все корни  от мнимой оси,  можно сделать как угодно малой величиной за счет выбора ,  – величина, которую можно считать как угодно малой при как угодно малой величине . Обозначая

,

найдем

,

где  – столбец начальных значений. Таким образом,  ограничен, как угодно мал при достаточно малых начальных значениях (устойчивость!) и стремится к нулю со всеми своими компонентами у; при  (асимптотическая устойчивость!). Итак, дополнительные нелинейные слагаемые в уравнениях (3.10) не влияют на вывод о асимптотической устойчивости нулевого решения линеаризованной системы.

 

 

 

 

 

 

 

 

* Между годами жизни Жозефа Луи Лагранжа (1736–1813) и временем разработки Александром Михайловичем Ляпуновым (1857–1918) его теории устойчивости лежат более 70 лет интенсивного развития механики.

* Понятие “полная производная вдоль движения” соответствует вычислению производной от функции нескольких переменных с учетом того, что эти переменные подчинены дифференциальным уравнениям движения.

** Последовательность рассуждений при доказательстве  теоремы  Лагранжа  со-

храняется для обобщенно-консервативной системы (остается справедливым закон сохранения полной энергии), а также при добавлении к такой системе диссипативных сил (не увеличивающих полную энергию при любых движениях).

* Конечно, как и в разделах 2.3 и 2.4, можно одновременно сменить знак у функций V и .