Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


1.2. устойчивость равновесия

Напомним определение положения равновесия. Пусть механическая система описана в обобщенных координатах (i = 1, 2, … n). Совокупность обобщенных координат определяет положение системы, а обобщенных координат и обобщенных скоростей  – ее состояние.

Положение системы есть положение равновесия, если система, имея в этом положении нулевые скорости в начальный момент времени , остается в этом положении как угодно долго (для всех ).

Рассматривая устойчивость системы в одном из положений равновесия, перенесем в это положение начало отсчета обобщенных координат . Тогда  – отклонения от положения равновесия.

Сформулируем определения устойчивости и неустойчивости равновесия.

Положение равновесия механической системы  устойчиво, если для каждого заранее заданного ограничения на абсолютные значения отклонений  и скоростей  удается выбрать область абсолютных значений начальных отклонений  и скоростей , такую, что для любого движения, начатого в момент времени  из выбранной области, следует во все моменты времени  заданное ограничение.

Область начальных отклонений и скоростей, пригодная для конкретного заданного ограничения, которое наложено на отклонения и скорости, конечно, пригодна и для более свободных ограничений, но может быть непригодна для ограничений, более жестких. Таким образом, в определении устойчивости заложено как бы “соревнование”: все более ограничивая движение системы около положения равновесия, следует каждый раз указывать область начальных отклонений и скоростей, обеспечивающую это ограничение. Если это удается, то положение равновесия устойчиво.

Так как ограничения в движении и соответственно начальные отклонения в этом “соревновании” можно рассматривать как угодно малыми, определение устойчивости можно дать в терминах соотношений двух бесконечно малых величин – известных в математике “-соотношений”.

Положение равновесия  устойчиво, если для любого  найдется , такое, что ,  для всех , коль скоро , ( для ).

Все последующие определения будем формулировать только в терминах “-соотношений”.

Обращаясь к понятию “неустойчивость”, следует сразу указать на неконструктивный характер “отрицательного” определения, которое иногда используется: если устойчивости в положении равновесия механической системы нет, то система в этом положении неустойчива. В таком определении нет самостоятельных признаков неустойчивости. Более содержательно следующее определение.

Положение равновесия  неустойчиво, если найдется хотя бы одно , такое, что при любом выборе  все же существуют начальные состояния , (), для которых  или  хотя бы для некоторых i и некоторых .

При анализе этого определения важно отметить такие его особенности. При любом выборе  вовсе не требуется, чтобы любые движения, начатые в области , обязательно покидали

-окрестность состояния равновесия. Достаточно, чтобы лишь некоторые движения с начальными данными в области  обладали этими свойствами. Далее: для неустойчивости по Ляпунову достаточно, чтобы хотя бы одна обобщенная координата или только одна обобщенная скорость покидали -окрестность, да и то не навсегда, а лишь в некоторые моменты времени и на некоторое, хотя бы и конечное, время.

Располагая определением неустойчивости, можно попытаться установить наличие признаков неустойчивости в тех случаях, когда не удается обнаружить признаки устойчивости. И наоборот, не установив факта неустойчивости, конечно, нельзя утверждать, что установлена устойчивость. Неустойчивость в этом случае остается недоказанной, и можно попытаться искать признаки устойчивости. Это относится как к устойчивости равновесия, так и к устойчивости движения, определения которой рассматриваются в следующих пунктах.