Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


1.3. формулировка проблемы устойчивости движения

Будем рассматривать такие движения механических систем, которые можно описать системой обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

       (i = 1, 2, … r).      (1.1)

В записанных уравнениях: правые части  – сокращение более подробной записи , которым мы далее будем пользоваться;  – любые переменные, совокупность которых полностью описывает состояние механической системы. В качестве таких переменных состояния могут выступать: переменные Лагранжа – обобщенные координаты и скорости , ; переменные Гамильтона – обобщенные координаты и импульсы ; переменные Рауса, в которые входят позиционные скорости и циклические импульсы, или какие-либо другие совокупности переменных.

Если уравнения движения представлены системой n уравнений второго порядка, как например, уравнения Лагранжа II рода, от них легко перейти к уравнениям первого порядка введением промежуточных обозначений, например:

 (в этом случае r = 2n).

Предварительно уравнения Лагранжа II рода следует разрешить относительно .

Правые части уравнений движения  предполагаются достаточно гладкими функциями своих аргументов, чтобы можно было обеспечить существование и единственность решения уравнений движения при заданных начальных условиях.

Итак, пусть  – решение уравнений (1.1), соответствующее начальным условиям при : . Движение, описанное функциями , назовем основным. Сформулируем задачу об устойчивости этого основного движения, считая его известным. Подчеркнем, что речь идет не об устойчивости механической системы вообще, а об устойчивости конкретного ее движения. Утверждать, что вывод об устойчивости или неустойчивости распространяется на движения с любыми начальными условиями, можно лишь для некоторых классов механических систем, и только к таким системам применим упрощенный и, вообще говоря, неточный термин “устойчивость системы”.

Наряду с основным движением рассмотрим возмущенное движение , которое соответствует возмущенным начальным условиям в начальный момент : .

Разность функций, описывающих возмущенное и основное движения:

,

назовем отклонением от основного движения (или возмущением основного движения). Соответствующие начальные значения этих функций:  – начальные отклонения (или начальные возмущения будут):

Решение для основного движения удовлетворяет уравнениям (1.1). Решение для возмущенного движения также должно удовлетворять этим уравнениям:

       (i = 1, 2, … r).     (1.2)

Разности уравнений (1.2) и (1.1) дают систему уравнений, записанную в отклонениях как новых неизвестных:

       (i = 1, 2, … r),     (1.3)

где , причем функции основного движения  считаются здесь известными. Уравнения (1.3) имеют тривиальное, нулевое решение при нулевых начальных отклонениях, т.е. при отсутствии возмущений в начальных условиях. Иными словами, основное движение соответствует нулевому решению уравнений движения в отклонениях.

Отметим определенную аналогию между состоянием равновесия и движением, описанным в отклонениях. В обоих случаях основное состояние соответствует нулевым значениям переменных.

Сформулируем теперь определения устойчивости и неустойчивости движения.

Движение устойчиво, если для любого  найдется , такое, что  для всех , коль скоро  (для ).

Движение неустойчиво, если найдется хотя бы одно , такое, что при любом выборе  все же существуют начальные отклонения  (), для которых  хотя бы для некоторых i и некоторых .

Для понимания особенностей этих определений полезно вернуться к комментариям к определениям устойчивости и неустойчивости положения равновесия. Следует только учесть то обобщение, что вместо отклонений от состояния равновесия – координат и скоростей – теперь рассматриваются произвольные переменные, описывающие состояние системы.