Название: Аналитическая динамика и теория колебаний - (автор неизвестен)

Жанр: Технические

Просмотров: 1395


1.5. альтернативные понятия устойчивости

Здесь и далее, говоря об основном движении, не будем, если это специально не оговорено, выделять состояние равновесия, считая его частным случаем основного движения.

Уже говорилось, что разные технические задачи требуют разных формулировок проблемы устойчивости. Это вызвано необходимостью получать практически значимые результаты исследований. Располагая теперь формулировками устойчивости по Ляпунову, рассмотрим некоторые другие постановки проблемы устойчивости.

В определениях устойчивости по Ляпунову все переменные, описывающие состояние механической системы, считаются равноправными. Не делается, например, различия между отклонениями в обобщенных координатах и возмущениями скоростей. Между тем практически роль разных переменных в оценке устойчивости может оказаться весьма различной.

Так при движении тяжелого однородного шара в воздухе, в однородном поле тяжести начальные возмущения положения центра шара несущественны для анализа устойчивости, так как соответствуют тривиальному смещению начала координат или переносу траектории. В то же время малые начальные возмущения скорости центра шара ведут к последующим отклонениям в координатах, оценка которых с учетом сопротивления воздуха не очевидна. Если учитывать вязкость воздуха, то рассматривать шар как материальную точку не достаточно. Необходимо учесть вращение шара, причем углы, определяющие поворот шара, и их возмущения очевидно несущественны, но вектор угловой скорости и его возмущение влияют на аэродинамическую силу и, следовательно, на движение центра шара.

Подобные примеры показывают, что при формулировке проблемы устойчивости иногда целесообразно конкретно для данной технической задачи определить класс отклонений и класс начальных возмущений. Так как роль различных переменных может оказаться разной, полезно внести изменения в формулировку “-соотношений” и сопоставлять не отдельные компоненты отклонений и начальных возмущений, а некоторые их нормы, например:

      , .      (1.4)

Здесь  и  – положительные весовые коэффициенты, придающие разную значимость отдельным компонентам  и . Если же некоторые весовые коэффициенты принять нулями (для выражений типа (1.4) при этом принят термин “полунорма”), то соответствующие компоненты либо отклонений, либо начальных возмущений окажутся вообще не участвующими в формулировке задачи устойчивости.

Выше уже говорилось, что в некоторых технических задачах целесообразно расширить постановку, рассматривая устойчивость не только по отношению к начальным возмущениям, но и к возмущениям во все время движения . При этом придется пересмотреть понятие нормы “начальных” возмущений и ввести понятие нормы возмущений, действующих на некотором временном интервале. Более того, математическое описание механической системы не может быть абсолютно точным. Поэтому в постановку проблемы устойчивости (как это формулировалось и самим А.М. Ляпуновым) можно ввести возмущения параметров системы или даже видоизменение дифференциальных операторов, управляющих движением системы. В этом случае заключение об устойчивости может измениться.

Так колебания математического маятника устойчивы по отношению к начальным возмущениям его положения и скорости, но неустойчивы по отношению к возмущениям его собственной частоты (или длины маятника). При сколь угодно малом возмущении собственной частоты со временем накапливается разность фаз основного и возмущенного движений, так что эти движения оказываются в противофазе, а отклонение достигает удвоенной амплитуды колебаний.

При возможных вариациях описания механической системы важно только сохранить ее класс. Это позволит избежать необоснованного появления новых физических свойств. Если, например, система по предположению консервативна, допустимые отклонения в описании активных сил не должны нарушать их потенциальности.

В определении устойчивости по Ляпунову отсутствует численная оценка как отношения отклонений в процессе движения к начальным возмущениям, так и самих отклонений. Поэтому реальна ситуация, в которой для устойчивой системы своеобразный “коэффициент усиления” начальных отклонений неприемлемо высок для функционирования системы.

Если, например, летательный аппарат, устойчивый по Ляпунову, реагирует на незначительные воздушные порывы неприемлемо большими и медленно затухающими колебаниями, то такой аппарат непригоден к эксплуатации.

Возможна и противоположная ситуация: сколь угодно малые начальные возмущения вызывают конечные, но ограниченные последующие отклонения, не препятствующие функционированию системы.

Достаточно типична в этом отношении система с люфтом. Основное движение в пределах люфта может быть неустойчивым по Ляпунову, но отклонения от этого движения, ограниченные величиной зазора, могут представлять собой неопасные вибрации.

Таким образом, имеет смысл следующая постановка проблемы устойчивости как обеспечения функционирования. Рассматриваются конечные, нормируемые начальные возмущения и технически допустимые (устойчивость) или недопустимые (неустойчивость) последующие отклонения. При этом, естественно, речь идет о конечных величинах возмущений (отклонений). В отличие от устойчивости “в малом”, по Ляпунову, в этом случае говорят об устойчивости в “большом”.

Как только назначены допустимые отклонения конечной величины, может быть поставлен вопрос об интервале времени, на котором такие отклонения не должны быть превзойдены.

Такая, альтернативная устойчивости по Ляпунову, постановка проблемы устойчивости на конечном интервале времени более соответствует смыслу задач о выполнении функций одноразовых механических систем в условиях ползучести материала из-за высоких нагрузок и температур. Кроме того, эта постановка отражает свойства систем с быстро меняющимися параметрами и условиями функционирования. Например, для ракетной системы важны ограниченные временные интервалы выработки топлива и прохождения плотных слоев атмосферы. На этих интервалах, на активном участке траектории, меняются массы системы, тяга главных двигателей и аэродинамические силы. Вне этих временных интервалов теряют смысл некоторые задачи устойчивости.

В заключение необходимо указать, что все названные выше формулировки проблемы устойчивости даны для систем с конечным числом степеней свободы, но для приложений целесообразно их распространение на системы с бесконечным числом степеней свободы. Можно указать хотя бы один частный случай – наличие точки сгущения собственных частот, в котором результаты такого распространения заранее не очевидны.