Название: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии - Методические указания (Е.А. Лебедева)

Жанр: Экономика

Просмотров: 1178


Тема 3.  перпендикулярность прямых и плоскостей

 

При изучении материала темы необходимо усвоить:

· определение перпендикулярных прямых;

· признак перпендикулярности прямых;

· признак перпендикулярности прямой и плоскости;

· свойства перпендикулярных прямой и плоскости;

· перпендикуляр и наклонная к плоскости;

· теорема о трех перпендикулярах;

· признак перпендикулярности плоскостей;

· свойства параллельности и перпендикулярности плоскостей.

В процессе решения задач проверяются следующие умения:

· характеризовать перпендикулярность прямой и плоскости;

· задавать прямую, перпендикулярную к плоскости;

· доказывать перпендикулярность прямой к плоскости;

· определять отрезок, длина которого задает расстояние от данной точки до данной плоскости;

· определять полупрямые, задающие угол между прямой и плоскостью.

Вопросы теоретического зачета

 

Вариант 1

 

1. Сформулируйте определение перпендикулярных плоскостей.

2. Докажите теорему о трех перпендикулярах.

3. Прямая a параллельна плоскости a, а прямая b перпендикулярна этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые a и b взаимно перпендикулярны?

 

Вариант 2

 

1. Сформулируйте определение прямой, перпендикулярной плоскости.

2. Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?

 

Вариант 3

 

1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью.

2. Докажите признак перпендикулярности двух плоскостей.

3. Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?

 

Вариант 4

 

1. Сформулируйте определение двугранного угла.

2. Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

3. Прямая a перпендикулярна к плоскости a, а прямая b не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые a и b быть параллельными?

 

Самостоятельная работа 5

 

Вариант 1

 

1. Отрезок АВ, равный 5 см, не имеет общих точек с плоскостью a. Прямые АС и BD, перпендикулярные этой плоскости, пересекают её в точках C и D соответственно. Найдите BD, если

CD = 3 см, AC = 17 см, BD < AC.

2. Отрезок AB пересекает некоторую плоскость в точке O. Прямые AD и BC, перпендикулярные этой плоскости, пересекают её в точках D и C соответственно, AD = 6 см, BC = 2 см, OC = 1,5 см. Найдите АВ.

3. Прямая ОА ^ (OBC) и точка O является серединой отрезка AD. Докажите, что OB = OC, если AB = AC.

 

Вариант 2

 

1. Прямые AB и CD перпендикулярны некоторой плоскости и пересекают её в точках B и D соответственно. Найдите AC, если AB = 9, CD = 15, BD = 8.

2. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM. Известно, что Ð MBA = Ð MBP = 90°, MB = m, AB = n. Найдите расстояния от точки M до вершин квадрата.

3. Прямая OA ^ (OBC) и точка О является серединой отрезка AD. Докажите, что AB = AC, если OB = OC.

 

Вариант 3

 

1. Отрезок MH не имеет общих точек с плоскостью. Прямые MP и HO, перпендикулярные этой плоскости, пересекают её в точках P и O соответственно, MP = 12 дм, PO = 5 дм, HO = 24 дм. Найдите MH.

2. В треугольнике ABC дано: Ð C = 90°, AC = a, BC = b, CM – медиана. Через вершину C проведена прямая CK, перпендикулярная к плоскости DABC, причем CK = m. Найдите KM.

3. Отрезок MH пересекает некоторую плоскость в точке K. Через концы отрезка проведены прямые HP и ME, перпендикулярные плоскости и пересекающие её в точках P и E. Найдите PE, если HP = 4 см, HK = 5 см, ME = 12 см.

Вариант 4

 

1. Через точки P и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости a и пересекающие её соответственно в точках P1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 см, PP1 = 21,5 см,

QQ1 = 33,5 см.

2. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD, диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что BD ^ (AMO).

3. Прямые AB, AC, AD попарно перпендикулярны. Найдите CD, если AB = b, BC = a, AD = d.

 

Самостоятельная работа 6

               

Вариант 1

 

1. В пространстве даны три точки: А, В, С такие, что АВ =

= 14 см, ВС = 16 см и АС = 18 см. Найдите площадь треугольника АВС.

2. Треугольник МКР – равносторонний со стороной, равной 12 см. Точка А лежит вне плоскости треугольника МКР, причём АК = АР = 4 см, а АМ = 10 см. Найдите косинус угла, образованного высотам МЕ и АЕ соответственно треугольников МКР и АКР.

3. В плоскости a лежат точки В и С, точка А лежит вне плоскости a. Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ = = 5 см, АС = 7 см, ВС = 6 см.

4. Даны пять точек пространства. Через каждые две из них проведена прямая. Сколько различных прямых существует при таких условиях? Рассмотрите различные случаи расположения точек.

5. Проведены четыре различные плоскости. Известно, что каждые две из них пересекаются. Найдите наибольшее число прямых попарного пересечения плоскостей.

6. Некоторая окружность касается двух пересекающихся прямых в пространстве. Диаметр этой окружности равен 2 дм, а расстояние от центра окружности до точки пересечения прямых равносм. Найдите угол между этими прямыми.

7. Четыре точки пространства А, В, С, D образуют прямоугольник АВСD. Найдите площадь круга, описанного около этого прямоугольника, если АВ =  см, а AD =  см.

8. Прямые а и b пересекаются в точке О, прямая с также проходит через точку О. Через каждые две из данных трёх прямых проведена плоскость. Сколько всего различных плоскостей может быть проведено?

 

Вариант 2

 

1. В пространстве даны три точки: M, K, P такие, что МК =

= 13 см, МР = 14 см, КР = 15 см. Найдите площадь треугольника МКР.

2. Треугольник АВС – равносторонний со стороной, равной

8 см. Точка D лежит вне плоскости треугольника АВС, причём DB = DC = 5 см, DA = 3 см. Найдите косинус угла, образованного высотами DK и AK соответственно треугольников BDC и ABC.

3. Точки С и К лежат в плоскости b, а точка D – вне её. Найдите расстояние от точки D до отрезка СК, если CD = CK =10 см, а DK = 4 см.

4. В пространстве отмечено шесть точек, и через каждые две из них проведены прямые. Рассмотрите все случаи расположения точек, найдите наибольшее число образовавшихся различных прямых.

5. Проведены четыре различные плоскости. Каждые две из них пересекаются или не пересекаются. Сколько всего прямых попарного пересечения двух из этих плоскостей может оказаться?

6. Некоторая окружность касается двух пересекающихся прямых в пространстве. Найдите радиус этой окружности, если угол между прямыми 60°, а расстояние от центра этой окружности до точки пересечения прямых равно () см.

7. Четыре точки пространства М, К, Р, О образуют прямоугольник МКРО. Найдите площадь круга, описанного около этого прямоугольника, если ОР =  дм, а ОМ = дм.

8. Прямые m, n, l пересекаются в одной точке. Через каждые две из них проходит плоскость. Сколько всего различных плоскостей может быть проведено?

 

Самостоятельная работа 7

 

Вариант 1

 

1. Из точки О – пересечения диагоналей ромба ABCD – восстановлен к его плоскости перпендикуляр OM. Докажите, что точка M одинаково удалена от всех сторон ромба.

2. Докажите, что расстояние от середины отрезка до плоскости есть среднее арифметическое расстояний его концов от той же плоскости.

3. На плоскости P дан угол в 60°. Точка M удалена от вершины угла на 25 см, а от сторон угла на 20 см и 7 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости P.

 

Вариант 2

 

1. Из точки О, взятой на высоте CD треугольника ABC, восстановлен перпендикуляр OM к плоскости этого треугольника. Докажите, что плоскость a, проходящая через CD и OM, перпендикулярна к AB.

2. Параллелограмм ABCD лежит вне плоскости P. Докажите, что суммы расстояний от противоположных вершин параллелограмма до плоскости P равны между собой.

3. На плоскости P дан угол 120°. Точка M удалена от сторон угла на 24 см и 20 см, а от вершины угла – на 25 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости P.

 

Вариант 3

 

1. Из точки M – середины стороны AB равностороннего треугольника ABC – восстановлен к его плоскости перпендикуляр MD. Точка D соединена с вершиной C. Докажите, что CD образует прямой угол с AB.

2. Докажите, что прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника и проходящая через центр вписанной в него окружности, является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон треугольника.

3. Расстояния от точки M до сторон и вершины прямого угла соответственно равны 4 дм, 7 дм, 8 дм. Найдите расстояние от точки M до плоскости прямого угла.

 

Вариант 4

 

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Точка M лежит вне плоскости параллелограмма и MA = MC, MB = MD. Докажите, что MO перпендикулярна плоскости параллелограмма.

2. Докажите, что прямая, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC и проходящая через центр описанной около треугольника окружности, является геометрическим местом точек, равноудаленных от вершин этого треугольника.

3. Катеты прямоугольного треугольника равны 14 и 48. Перпендикуляр к плоскости треугольника, восстановленный из вершины прямого угла, равен 6. Найдите расстояние от конца перпендикуляра до центра окружности, описанной около данного треугольника.

 

Самостоятельная работа 8

 

Вариант 1

 

1. Через точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD (точку O) проведён к его плоскости перпендикуляр OK, равный 6. Вычислите углы наклона прямых AK, BK, CK, DK к плоскости прямоугольника, если его стороны равны 6 и 6.

2. Сторона AB равностороннего треугольника ABC лежит в плоскости a и равна 12. Вершина C удалена от этой плоскости на 9. Вычислите угол между плоскостью a  и высотой CE треугольника ABC.

3. Сторона квадрата ABCD расположена в плоскости a. Сторона CD удалена от неё на 18. Вычислите угол между плоскостью a и плоскостью квадрата, если его сторона равна 36.

 

Вариант 2

 

1. К плоскости квадрата ABCD проведён перпендикуляр KO,  O – точка пересечения его диагоналей. Вычислите угол между плоскостью квадрата и прямыми KA, KB, KC, KD, если AB = 8, KO = 4.

2. Отрезок MP пересекает плоскость a. Точки M и P удалены от неё на 4 см и 5 см. Вычислите угол между прямой MP и плоскостью a, если MP = 18 см.

3. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость a. Вычислите площадь проекции треугольника на эту плоскость, если его катет равен a и угол между плоскостями a и треугольника равен 45°.

 

Самостоятельная работа 9

 

Вариант 1

 

Из вершины B прямоугольника ABCD проведён перпендикуляр BM = 4 см к его плоскости; точка M соединена с вершинами A, D, и C. Наклонные MA и MC образуют с плоскостью прямоугольника углы 45° и 30° соответственно.

а) Докажите, что треугольники MAD и MCD прямоугольные.

б) Найдите длины сторон прямоугольника.

в) Докажите, что треугольник BDC является проекцией треугольника MDC и найдите его площадь.

 

Вариант 2

 

Из вершины D квадрата ABCD проведён перпендикуляр DM = = 6 см к его плоскости; точка М соединена с вершинами А, В и С. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60°.

а) Докажите, что треугольники MAB и MCB прямоугольные.

б) Найдите длину стороны квадрата.

в) Докажите, что треугольник ABD является проекцией треугольника MAB и найдите его площадь.

 

Самостоятельная работа 10

 

Вариант 1

 

1. Точка М удалена от каждой вершины квадрата ABCD на

16 см; АВ = 8 см. Вычислите:

    а) длину проекции отрезка МА на плоскость квадрата;

    б) расстояние от точки М до плоскости квадрата.

2. Катет МР прямоугольного треугольника MPK лежит в плоскости a. Расстояние от вершины К до этой плоскости равно 5 см; Ð Р = 90°, МР = 12 см, КР = 9 см.

    а) Вычислите длину проекции гипотенузы треугольника МРК на плоскость a.

    б) Докажите, что прямая МР перпендикулярна  плоскости, в которой расположена сторона КР и её проекция на плоскость a.

 

Вариант 2

 

1. Точка К находится на равном расстоянии от вершин равностороннего треугольника АВС. Она удалена от плоскости треугольника на 4 см; АВ = 12 см. Вычислите:

    а) длину проекции отрезка КА на плоскость треугольника;

    б) расстояние от точки К до вершин треугольника.

2. Через сторону МР прямоугольника КМРТ проведена плоскость a.  Расстояние от прямой КТ до этой плоскости равно 8 см; МК = 15 см, МР = 8 см.

    а) Вычислите длину проекции диагонали прямоугольника на плоскость a.

    б) Докажите, что прямая МР перпендикулярна плоскости, в которой расположена сторона МК и её проекция на плоскость a.

 

Самостоятельная работа 11

 

Вариант 1

 

1. Через вершину А прямоугольного треугольника DАВС с прямым углом С проведена прямая AD, перпендикулярная к плоскости треугольника. Найдите BD, если BC = a, DC = b.

2. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AD = BC = 5 м,

CD = 1 м.

3. Прямая OK перпендикулярна к плоскости ромба ABCD, диагонали которого пересекаются в точке O. Найдите расстояние от точки K до всех прямых, содержащих стороны ромба, если

OK = 4,5 дм, AC = 6 дм, BD = 8 дм.

 

Вариант 2

 

1. Прямая AK перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC, M – середина стороны BC. Докажите, что

MK ^ BC.

2. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если BF = 8 дм, AB = 4 дм.

3. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AD = 4 м, BC = 7 м, CD = 1 м.

 

Вариант 3

 

1. Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см. Найдите расстояние от точки K плоскости прямоугольника ABCD.

2. Отрезок AD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника DABC. Известно, что AB = AC = 5 см, BC = 6 см, AD = = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка AD до прямой BC.

3. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AC = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м.

 

Вариант 4

 

1. Прямая BD перпендикулярна к плоскости DABC. Известно, что BD = 9 см, AC = 10 см, BC = BA = 13 см. Найдите: а) расстояние от точки D до прямой AC; б) площадь DAСD.

2. Из точки M проведён перпендикуляр MB к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что DAMD и DMCD прямоугольные.

3. Из точек A и B, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если AC = 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м.